Question

如图，抛物线y=ax²+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），点C是l上方的抛物线上的一动点，过C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点E．连结AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点C的横坐标为n，△ABC的面积为S，求出S的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边？若存在，求出所有符合条件的P的坐标；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A（1，5）、B（6，0）代入y=ax²+bx，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为y=-x²+6x；
（2）先由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+6，设C（n，-n²+6n），E（n，-n+6），则EC=（-n²+6n）-（-n+6）=-n²+7n-6，再过A作AF⊥CD于F，则AF=n-1，DB=6-n，根据S=S_△ACE+S_△BCE得出S=-

5

2

n²+

35

2

n-15，再利用配方法写成顶点式，即可求出S的最大值；
（3）分两种情况进行讨论：①当∠PBA=90°时，先求出过点B且垂直于AB的直线解析式为y=x-6，再解方程组

y=x-6 y=-x2+6x

，可得P₁（-1，-7）；②当∠PAB=90°时，先求出过点A且垂直于AB的直线解析式为y=x+4，再解方程组

y=x+4 y=-x2+6x

，可得P₂（4，8）．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），
∴

a+b=5 36a+b=0

，解得

a=-1 b=6

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x；

（2）易求直线l的解析式为y=-x+6．
由题意，知C（n，-n²+6n），E（n，-n+6），
∴EC=（-n²+6n）-（-n+6），即EC=-n²+7n-6．
过A作AF⊥CD于F，则AF=n-1，DB=6-n，
∴S=S_△ACE+S_△BCE
=

1

2

×EC×（n-1）+

1

2

×EC×（6-n）
=

1

2

×EC×5=

5

2

（-n²+7n-6），
即S=-

5

2

n²+

35

2

n-15，
配方得S=-

5

2

（n-

7

2

）²+

125

8

．
∵-

5

2

＜0，
∴S有最大值，当n=

7

2

时，S_最大值=

125

8

；

（3）在抛物线上存在点P，能够使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边．分两种情况：
①当∠PBA=90°时，
∵∠ABO=45°，
∴过点B且垂直于AB的直线解析式为y=x-6，
解方程组

y=x-6 y=-x2+6x

，得

x1=-1 y1=-7

，

x2=6 y2=0

，
∵B（6，0），
∴P₁（-1，-7）；
②当∠PAB=90°时，
∵过点A且垂直于AB的直线解析式为y=x+4，
解方程组

y=x+4 y=-x2+6x

，得

x1=1 y1=5

，

x2=4 y2=8

，
∵A（1，5），
∴P₂（4，8）．
综上所述，符合条件的P点坐标为P₁（-1，-7），P₂（4，8）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积求法，二次函数的性质，互相垂直的两直线斜率之积为-1，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．