Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒

3

2

个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，得到方程组

4a-2b-4=0 - b 2a =1

，解方程组即可求出抛物线的解析式；
（2）由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t≤3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，由△AMP∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，求出PM，AH，根据三角形面积公式求解，利用配方法求出最值即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，
∴

4a-2b-4=0 - b 2a =1

，
解得：

a= 1 2 b=-1

，
∴抛物线的解析式是：y=

1

2

x²-x-4，

（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，
∵PM∥OC，
∴△AMP∽△AOC，
∴

PM

OC

=

AM

AO

，即

PM

4

=

t

2

，
∴PM=2t．
解方程

1

2

x²-x-4=0，得x₁=-2，x₂=4，
∵A（-2，0），
∴B（4，0），
∴AB=4-（-2）=6．
∵AH=AB-BH=6-t，
∴S=

1

2

PM•AH=

1

2

×2t（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
当t=2时S的最大值为8；
②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，
又∵将x=0代入抛物线求得C点坐标为（0，-4），
∴CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AH=4+

3

2

（t-2）=

3

2

t+1，
∴S=

1

2

PM•AH=

1

2

（6-t）（

3

2

t+1）=-

3

4

t²+4t+3=-

3

4

（t-

8

3

）²+

25

3

，
当t=

8

3

时，S最大值为

25

3

．
综上所述，点M的运动时间t与△APH面积S的函数关系式是S=

-t2+6t(0＜t≤2) - 3 4 t2+4t+3(2＜t≤3)

，S的最大值为

25

3

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．