Question

如图，已知两个反比例函数y1=

k1

x

和y2=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在平面直角坐标系xOy中的第一象限内的图象如图所示，动点A在y1=

k1

x

的图象上，AB∥y轴，与y2=

k2

x

的图象交于点B，AC、BD都与x轴平行，分别与y2=

k2

x

、y1=

k1

x

的图象交于点C、D．
（1）用含k₁、k₂的代数式表示四边形ACOB的面积为：S_{四边形ACOB}=

 

；
（2）当k₁=8，k₂=2时，若点A横坐标为2，求梯形ACBD的两条对角线的交点F的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：（1）利用反比例函数的比例系数的几何意义可以表示S_△CHO、S_△OGB、S_矩形AGOH，进而表示出S_{四边形ACOB}．
（2）由于点A、B、C、D的坐标密切相关，由点A的横坐标为2可以求出这4个点的坐标．F的横坐标与点A横坐标相同，都为2，只需求出直线CD的解析式，就可求出点F的坐标．

解答：解：（1）由题可知：AG∥y轴，AH∥x轴，点A在反比例函数y₁=

k1

x

的图象上，点B、C在反比例函数y₂=

k2

x

图象上，
由反比例函数的比例系数的几何意义可得：S_△CHO=S_△OGB=

1

2

k₂，S_矩形AGOH=k₁．
∴S_{四边形ACOB}=S_矩形AGOH-S_△CHO-S_△OGB=k₁-k₂．
故答案为：k₁-k₂．
（2）设点A的坐标为（2，b），点A在反比例函数y₁=

8

x

的图象上，
∴2b=8．
∴b=4．
∴点A的坐标为（2，4）．
∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4．
∵点C在反比例函数y₂=

2

x

的图象上，
∴点C的横坐标为

1

2

．
∴点C的坐标为（

1

2

，4）．
同理：点B的坐标为（2，1），点D的坐标为（8，1）．
设直线CD的解析式为y=mx+n．
则

1 2 m+n=4 8m+n=1

，
解得

m=- 2 5 n= 21 5

．
则直线CD的解析式为y=-

2

5

x+

21

5

．
∵AF∥y轴，
∴x_F=x_A=2．
∴y_F=-

2

5

×2+

21

5

=

17

5

．
∴梯形ACBD的两条对角线的交点F的坐标为（2，

17

5

）．

点评：考查了反比例函数综合题，在选择题或填空题中，涉及到与反比例函数有关的面积问题时，运用反比例函数的比例系数的几何意义来解比较方便．至于第二小题，除了通过求直线CD的解析式来求点F的坐标外，还可以先证明△CAF～△DBF，再运用相似三角形的性质求出FB长，进而求出点F的坐标．