Question

14．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，BC=3，求点O到弦AD的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据两角对应相等证明△ABE∽△DCE，可得结论；
（2）如图2，连接OB交AC于F，证明△ABF∽△DAB列比例式，由垂径定理得：AF=$\frac{1}{2}$AC，由等弧所对的弦相等得：AB=BC，代入比例式可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，根据三角形的中位线定理得：OG为△ADF的中位线，则OG=$\frac{1}{2}$DF，由∠EDC+∠ECD=90°和∠FAD+∠AFD=90°，再由同弧所对的圆周角相等得：∠EDC=∠FAD，所以$\widehat{BC}$=$\widehat{FD}$，求出BC=DF=3，从而得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵∠BAC=∠CDB，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）如图2，连接OB交AC于F，
∵OB=OA，
∴∠ABF=∠BAD，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BAF=∠BDA，
∴△ABF∽△DAB，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴AF•AD=AB•BD，
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，O是圆心，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，AB=BC，
∴$\frac{1}{2}$AC•AD=BC•BD，
∴AD•AC=2BD•BC；

（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，过O作OG⊥AD于G，
∴AG=DG，
∵AO=OF，
∴OG为△ADF的中位线，
∴OG=$\frac{1}{2}$DF，
∵AC⊥BD，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∴∠FAD+∠AFD=90°，
∵∠AFD=∠ECD，
∴∠EDC=∠FAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{FD}$，
∴BC=DF=3，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
∴点O到弦AD的距离是$\frac{3}{2}$．

点评 本题是圆的综合题，难度适中，考查了圆周角定理、垂径定理、三角形相似的性质和判定、三角形的中位线定理，熟练掌握圆周角定理是关键，在圆中证明相似中，常利用两角对应相等证明两三角形相似，要熟练掌握．