Question

4．如图，C为⊙O上的一点，P为直径AB延长线上的一点，BH⊥CP于H交⊙O于D，∠PBH=2∠PAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠P=$\frac{2}{3}$，求$\frac{BH}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠PAC=∠OCA，推出∠COP=∠OBH，得到OC∥BH，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为2a，解直角三角形得到OP=3a，PB=OP-OB=a，作OG⊥DH，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠COP=∠PAC+∠OCA=2∠PAC，
∵∠PBH=2∠PAC，
∴∠COP=∠OBH，
∴OC∥BH，
∵BH⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为2a，
在Rt△OCP中，sin∠P=$\frac{2}{3}$，OC⊥CP，
∴OP=3a，
∴PB=OP-OB=a，
作OG⊥DH，
则BG=$\frac{1}{2}$BD，△OBG∽△PBH，
∴$\frac{BH}{BG}=\frac{BP}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BH}{BD}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线判定，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．