Question

10．如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E．
（1）求证：△BEA≌△DEF；
（2）若AB=2，AD=4，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠C=90°，根据折叠得出DF=CD，∠F=∠C=90°，求出AB=FD，∠A=∠F，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等得出BE=DE，根据勾股定理得出关于AE的方程，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
∵把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E，
∴DF=CD，∠F=∠C=90°，
∴AB=FD，∠A=∠F，
在△BEA和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠FED}\\{∠A=∠F}\\{AB=DF}\end{array}\right.$
∴△BEA≌△DEF（AAS）；

（2）解：∵△BEA≌△DEF，
∴BE=DE=AD-AE=4-AE，
在Rt△BAE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
∴2²+AE²=（4-AE）²，
解得：AE=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．