Question

如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．

解答：（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；

（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．

点评：此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．