Question

【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点p（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）为端点的线段中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
【运用】已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AOCD向终点C运动，运动时间是t秒．
（1）D点的坐标为

 

；
（2）当t为何值时，△APD是直角三角形；
（3）点P移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）如果另有一动点Q，从C点出发，沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28？如果可能，求出对应的t；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）坐标系中线段中点的坐标等于线段两端点坐标和的一半；
（2）分两种情况，DP垂直AP或PD垂直DA，根据勾股定理，可得答案；
（3）分类讨论：0＜t＜2，2＜t＜

9

2

时，根据三角形的面积公式，可得答案；
（4）利用已知条件可求BC=10，直角梯形COAB的面积=56．假设P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28，由于动点P从点A出发到达点O时，用时2秒，此时从C点出发的点Q恰好到达点B，P、C、Q、A四点围成的四边形即为直角梯形COAB，所以t=2秒时四边形的面积不能为28．分两种情况：t＜2，t＞2．

解答：解：（1）如图1：

∵AO=8，
∴从点D向OA引垂线，垂足为D₁，OD₁=4．从D向OC引垂线，垂足为D₂．OD₂=DD₁=

1

2

（AB+CO）=7．
故D点的坐标是（4，7）．
故答案为：（4，7）；
（2）如图2：

直角三角形即能满足勾股定理．
则根据速度公式可得：当DP⊥AO，
点D为线段BC的中点，D点的坐标是（4，7）．
∴AP=4，
t₁=1，
利用勾股定理表示出AP₁²=8²+（4t-8）²，AD²=4²+7²，P₁D=²=4²+（7-4t+8）²，
t₂=

89

28

．
（3）S=

-14t+28(0＜t＜2) 8t-16(2＜t＜ 9 2 ) 92-16t( 9 2 ＜t＜ 23 4 )

（4）解：存在对应的t，能够使P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28．理由如下：
由于t=2秒时，P、C、Q、A四点围成的四边形即为直角梯形COAB，
所以t=2秒时四边形的面积不能为28．
AP=4t，CQ=5t．
下面分两种情况分别讨论：如图3，

①t＜2秒时，点P在边OA上，点Q在边BC上．
∵四边形PCQA的面积=28，
∴△POC的面积+△ABQ的面积=直角梯形COAB的面积-四边形PCQA的面积=28，
∴

1

2

×10×（8-4t）+

1

2

×4×

4(10-5t)

5

=28，
解得t=1．
∵1＜2，
∴t=

25

9

符合题意；
如图4：

②t＞2秒时，点P在边OC上，点Q在边AB上，四边形PCQA为梯形．
∵四边形PCQA的面积=28，
∴

1

2

（18-4t+14-5t）×8=28，
解得t=

25

9

．
∵

25

9

＜

14

5

，
∴t=

25

9

符合题意．
故当t=1或

25

9

时，P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28．

点评：本题考查梯形，坐标与图形性质，直角三角形的判定等，注意动态问题要考虑全面．