Question

（1）直接写出计算结果

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（2）猜想并直接计算：

1

n(n+2)

=

 

．
（3）探究并解方程：

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

2

2x+18

．

Answer 1

考点：解分式方程,分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到拆项规律，计算即可；
（3）方程左边利用拆项方法变形，计算即可求出解．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（2）原式=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）；
（3）方程整理得：

1

3

（

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+6

+

1

x+6

-

1

x+9

）=

1

x+9

，
即

1

3

（

1

x

-

1

x+9

）=

1

x+9

，
整理得：

3

x(x+9)

=

1

x+9

，
去分母得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故答案为：（1）

n

n+1

；（2）

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）

点评：此题考查了解分式方程，弄清题中的拆项规律是解本题的关键．