Question

如图，以Rt△BCA的斜边BC为一边在△BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AD，如果AB=3，AO=5

2

，那么AC的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：在AC上截取CF=AB，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等求出OB=OC，∠BOC=90°，根据等角的余角相等求出∠OBA=∠OCF，然后利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的对应边相等可得OF=AO，全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠FOC，然后求出∠AOF=∠BOC=90°，判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．

解答：解：如图，在AC上截取CF=AB，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠2+∠OCF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠OBA=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠OBA=∠OCF，．
在△ABO和△FCO中，

OB=OC ∠OBA=∠OCF CF=AB

，
∴△ABO≌△FCO（ASA），
∴OF=AO=5

2

，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=

2

AO=10
∴AC=AF+CF=10+3=13．
故答案为：13．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定的应用，正确作辅助线构造直角三角形和全等三角形是解此题的关键，难度偏大．