Question

8．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＞0；③ac-b+1=0；④2a+b=0其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；
②根据抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，作判断；
③利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax²+bx+c即可作出判断；
④根据对称轴的不确定可以作出判断．

解答 解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∵a＜0，
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＜0，
所以②不正确；
③∵C（0，c），OA=OC，
∴A（-c，0），
把A（-c，0）代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，
所以③正确；
④当-$\frac{b}{2a}$=1时，b=-2a，2a+b=0，
而本题的对称轴不确定值，
所以④不正确；
本题正确的有：①③，2个，
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．