Question

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-4x+3的顶点为C，与x轴交于A、B两点．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求抛物线y=x²-4x+3关于y轴对称的抛物线的表达式；
（3）设（2）中所求抛物线上的点A₁与点A对应，顶点C₁与点C对应，在抛物线y=x²-4x+3上是否存在一点P，使△PA₁C₁的面积最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）列方程即可得A（3，0），根据二次函数的顶点坐标公式即可得到C（2，-1）；
（2）根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论；
（3）根据已知条件得到A₁（-3，0），C₁（-2，-1），求得直线A₁C₁的解析式为y=-x-3，由于△PA₁C₁的面积最小，得到P到A₁C₁的距离最小，设P（m，m²-4m+3），P到A₁C₁的距离为W，根据点到直线的距离公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-4x+3的顶点为C，与x轴交于A，
∴令y=0，即x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，
∴A（3，0），
∴-$\frac{b}{2a}$=2，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-1，
∴C（2，-1）；

（2）抛物线y=x²-4x+3关于y轴对称的抛物线的表达式为y₂=x²+4x+3；

（3）∵抛物线y=x²-4x+3与抛物线y₁=x²+4x+3关于y轴对称，
∵A（3，0），C（2，-1），
∴A₁（-3，0），C₁（-2，-1），
∴直线A₁C₁的解析式为y=-x-3，
∵△PA₁C₁的面积最小，
∴P到A₁C₁的距离最小，
设P（m，m²-4m+3），P到A₁C₁的距离为W，
则W=$\frac{|m+{m}^{2}-4m+3+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|{m}^{2}-3m+6|}{\sqrt{2}}$，
要使W的值最小，则|x²-3x+6|最小，
即x²-3x+6=0，
∵x²-3x+6=0无实根，
∴不存在点P，使△PA₁C₁的面积最小．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数与x轴的交点坐标，点到直线的距离公式，在（3）中知道当△PA₁C₁的面积最小时，P到A₁C₁的距离最小是解题的关键．