Question

20．二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（4，0），B（2，8），且以x=1为对称轴．
（1）求此函数的解析式，并作出它的示意图；
（2）当0＜x＜4时，写出y的取值范围；
（3）结合图象直接写出不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线对称轴公式列出关系式，把两点坐标代入列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出二次函数解析式，在坐标系内画出函数图象即可；
（2）利用函数图象可直接得出结论；
（3）根据函数图象与x轴的交点可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（4，0），B（2，8），且以x=1为对称轴，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=1\\ 16a+4b+c=0\\ 4a+2b+c=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=8\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴抛物线与x轴的交点为（-2，0），（4，0），顶点坐标为（1，9），
二次函数的图象如图所示．

（2）由图可知，当0＜x＜4时，0＜y≤9；

（3）根据函数图象可知，不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集为-2＜x＜4．

点评 本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．