Question

5．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）

• A． 4$\sqrt{5}$cm
• B． 3$\sqrt{5}$cm
• C． 5$\sqrt{5}$cm
• D． 4cm

Answer 1

分析 连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．

解答 解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠OED}\\{∠OAF=∠DOE}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE=AF=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△DOE中，DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
故选：A．

点评 本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．