Question

11．如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB=90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF．
（1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程；
（2）若AE=8，AB=10，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC和BD，根据中心对称的性质可判断它们的交点为旋转中心O，延长EO到F，使FO=EO，则△CDF满足条件；
（2）过点O作OG⊥OE与EB的延长线交于点G，如图，先利用勾股定理计算出BE=6，再利用正方形的性质得OA=OB，∠AOB=90°，则∠AOE=∠BOG，接着根据三角形内角和得到∠GBO=∠EAO，于是可判断△EAO≌△GBO，所以AE=BG=8，OE=OG，然后判断△GEO为等腰直角三角形，则可得到OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BG-BE）=$\sqrt{2}$，从而得到EF=2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）连接AC和BD，则它们的交点为旋转中心O，延长EO到F，使FO=EO，
如图，点O和△CDF为所作；
（2）过点O作OG⊥OE与EB的延长线交于点G，如图，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
而∠EOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG，
∵∠AEB=∠AOB=90°，
∴∠GBO=∠EAO，
∴在△EAO和△GBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GBO}\\{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOG}\end{array}\right.$
∴△EAO≌△GBO，
∴AE=BG=8，OE=OG，
∴△GEO为等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BG-BE）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（8-6）=$\sqrt{2}$，
∴EF=2OE=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．