Question

5．阅读材料
我们知道：若分式$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$的值为零，则x=1或x=2
又因为$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$=$\frac{{x}^{2}-（1+2）x+1×2}{x}$=$\frac{{x}^{2}+1×2-（1+2）x}{x}$=x+$\frac{1×2}{x}$-（1+2）
所以$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$=0可化为：x+$\frac{1×2}{x}$-（1+2）=0，则x+$\frac{1×2}{x}$=1+2
所以关于x的方程x+$\frac{1×2}{x}$=1+2有两个解，分别为x=1或x=2．
类似的有：对于不相等且非零实数a、b，关于x的方程x+$\frac{ab}{x}$=a+b有两个解分别为x₁=a，x₂=b．应用材料中的结论解答下列问题：
（1）方程x+$\frac{8}{x}$=6的两个解分别为x₁=2，x₂=4；
（2）关于x的方程x+$\frac{m-n}{mnx}$=$\frac{m+4mn-n}{2mn}$的两个解分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），若x₁与x₂互为倒数，则x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2；
（3）关于x的方程2x+$\frac{{n}^{2}+2n-3}{2x-1}$=2n+3的两个解分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），求$\frac{{x}_{2}-2}{2{x}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及x₁与x₂互为倒数，确定出x₁与x₂的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x₁、x₂，代入原式计算即可得到结果．

解答 解：（1）∵2×4=8，2+4=6，
∴方程x+$\frac{8}{x}$=6的两个解分别为x₁=2，x₂=4．
故答案为：x₁=2，x₂=4．

（2）方程变形得：x+$\frac{\frac{m-n}{2mn}×2}{x}$=$\frac{m-n}{2mn}$+2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为$\frac{1}{2}$，
则x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2；
故答案为：$\frac{1}{2}$；2

（3）方程整理得：2x-1+$\frac{（n-1）（n+3）}{2x-1}$=n-1+n+3，
得2x-1=n-1或2x-1=n+3，
可得x₁=$\frac{n}{2}$，x₂=$\frac{n+4}{2}$，
则原式=$\frac{\frac{n+4}{2}-2}{2•\frac{n}{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．