Question

4．如图，PB是半径为5的圆O的一条割线，PA，PB的长是方程x²-10x+16=0的两个根（PA＜PB），PC是圆O的一条切线，C是切点．则四边形PAOC的面积是14．

Answer 1

分析 连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，分别求出△PCO和△AOP的面积，即可得到则四边形PAOC的面积．

解答 解：连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，
∵x²-10x+16=（x-2）（x-8）=0，
∴x=2或8，
∵PA，PB的长是方程x²-10x+16=0的两个根（PA＜PB），
∴PA=2，PB=8，
∵PB是半径为5的圆O的一条割线，PC是圆O的一条切线，
∴PC²=PA•PB，
∴PC=4，
∴S_△PCO=$\frac{1}{2}$PC•OC=10，
∵AB=6，
∴AD=3，
∴OD=4，
∴S△PAO=$\frac{1}{2}$PA•OD=4，
∴四边形PAOC的面积=4+10=14，
故答案为：14．

点评 本题考查了切线的性质、用因式分解法解一元二次方程、切割线定理的运用、勾股定理的运用以及三角形面积公式的运用，正确的添加辅助线把四边形的面积分割为两个三角形的面积是解题关键．