Question

5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF=AD；
（2）若CA=CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明CF=AD，只要证明△ADE≌FCE即可．
（2）结论：四边形CDBF是矩形．只要证明四边形CDBF是平行四边形，再证明根据三线合一证明CD⊥AB即可解决问题．

解答 证明：（1）∵AB∥CF
∴∠EAD=∠EFC，∠ADE=∠FCE，
∵E是CD的中点，∴DE=CE
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠EFC}\\{∠ADE=∠ECF}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌FCE
∴AD=CF

（2）结论：边形CDBF是矩形．
理由：∵AD=CF
∵CD是AB边上的中线
∴AD=BD
∴BD=CF
又∵BD∥CF
∴四边形CDBF是平行四边形
∵CA=CB，AD=BD，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°
∴四边形CDBF是矩形．-

点评 本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．