Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t＜6）．
（1）当t为何值时，△PBC为等腰直角三角形？
（2）求当移动到△QAP为等腰直角三角形时斜边QP的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=∠B=90°，CB=AD=6，当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，得出方程，解方程即可；
（2）由题意得出AP=2t，DQ=t，QA=6-t当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．得出方程，解方程求出t=2，得出AP、QA的长度，再由勾股定理求出QP即可．

解答 解：（1）对于任何时刻t，PB=12-2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，CB=AD=6，
当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，
即12-2t=6，
解得：t=3
∴当t=3，△PBC为等腰直角三角形；
（2）∵AP=2t，DQ=t，QA=6-t
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．
即6-t=2t．
解得：t=2（秒）．
∴当t=2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
此时 AP=4，QA=4，
在Rt△QAP中，QP=$\sqrt{Q{A}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．