Question

6．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=9，cosC=$\frac{3}{5}$，D是边AC上的动点，连接BD，过点D作ED⊥BD，交射线BA于点E，当△AED是等腰三角形时，CD的值为3或$\frac{54}{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①当点E在线段AB上时，如图1，这时AE=AD，作辅助线，先根据三角函数值求直角三角形的三边的长，利用面积法求高BF的长；证明两三角形相似或利用同角的三角函数列比例式求DF的长，得出结论；②当点E在BA的延长线上时，如图2，AE=AD，根据等角的余角相等证明∠ADB=∠ABD，则AD=AB，所以CD=15-12=3，最后写出CD的两个值．

解答 解：分两种情况：
①当点E在线段AB上时，如图1，这时AE=AD，
分别过E、B作AC的垂线EG、BF，垂足分别为G、F，
在Rt△ABC中，∵BC=9，cosC=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$    即$\frac{9}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴AC=15，
∴AB=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴12×9=15×BF，
∴BF=$\frac{36}{5}$，
∴CF=$\sqrt{{9}^{2}-（\frac{36}{5}）^{2}}$=$\frac{27}{5}$，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠GDE+∠CDB=90°，
∵∠BFD=90°，
∴∠CDB+∠DBF=90°，
∴∠GDE=∠DBF，
∵AD=AE，
∴∠A=∠GDE，
∴∠A=∠DBF，
∴tan∠A=tan∠DBF，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{DF}{BF}$，
∴$\frac{9}{12}=\frac{DF}{\frac{36}{5}}$，
∴DF=$\frac{27}{5}$，
∴CD=CF+DF=$\frac{27}{5}$+$\frac{27}{5}$=$\frac{54}{5}$，
②当点E在BA的延长线上时，如图2，AE=AD，
∴∠AED=∠EDA，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDA+∠ADB=∠AED+∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=12，
∴CD=AC-AD=15-12=3，
所以CD的值为3或$\frac{54}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质与判定和直角三角形与三角函数，利用相似三角形对应边的比得比例式或根据同角的三角函数列比例式求出线段的长；本题由动点D组成的等腰三角形要分类讨论，不要丢解．