Question

6．如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a．

Answer 1

分析 如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，∠APC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，根据AE=AP•sin30°，AF=AP•sin60°，即可解决问题．

解答 解：如图，连接OB、OC．

∵AD是直径，AB=BC=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，∠APC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°（AE是A到PB的距离，AE⊥PB），
∴AE=AP•sin30°=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，
∴AF=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AE+AF=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a．
故答案为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a．

点评 本题考查圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．