Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=18，AC=12，点P从点B出发，以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求S_△ABC；
（2）在点P与点Q的运动过程中，△APQ是否能成为等边三角形？若能，请求出时间t，若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？

Answer 1

考点：勾股定理,等边三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）过点C作CD⊥AB于D，根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，利用勾股定理列式求出CD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）表示出AP、AQ，然后根据等边三角形的三条边都相等列出方程求解即可；
（3）分PQ⊥AC和PQ⊥AB两种情况，列出方程求解即可．

解答：解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
由勾股定理得，CD=

122-62

=6

3

，
所以，△ABC的面积=

1

2

×18×6

3

=54

3

；

（2）能．
∵∠A=60°，AP=AQ，
∴18-3t=2t，
解得t=3.6s；

（3）当PQ⊥AC时，有AQ=

1

2

AP，
所以，2t=

1

2

（18-3t），
解得t

18

7

s；
当PQ⊥AB，有AP=

1

2

AQ，
所以，18-3t=

1

2

×2t，
解得t=4.5s．

点评：本题考查了勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，（3）要分情况讨论．