Question

如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E交AB的延长线于点F，
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）连结AD、OD，如图，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得EF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，利用OD∥AE得到△FOD∽△FAE，根据相似比可得

R

6

=

4+R

4+2R

，解得R=4，然后利用圆的面积公式求解．

解答：（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，即

R

6

=

4+R

4+2R

，
解得R=4，
∴⊙O的面积=π•4²=16π．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．