Question

4．若一个菱形的两条对角线的乘积等于其边长的平方，则这两条对角线的长度之比为2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可知菱形的面积等于边长平方的2倍，从而求菱形的边长等于高的2倍，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得最小内角为30°，进而得出答案．

解答 解：∵菱形的对角线的乘积等于其边长的平方，
∴AC•BD=AB²，
如图，过点D作DE⊥AB于E，
设菱形的面积为S，则S=$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE，
∴$\frac{1}{2}$AB²=AB•DE，
∴AB=2DE，
∵菱形的边长AB=AD，
∴AD=2DE，
∴∠BAD=30°，
故tan∠DAO=tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°•tan30°}$=$\frac{DO}{AO}$=2-$\sqrt{3}$．
则这两条对角线的长度之比为：2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高，作出图形更形象直观．