Question

14．如图．点E、F分别是矩形ABCD的两条长边AB、CD的中点．AF与DE相交于点M．CE与BF相交于点N．
（1）写出四条不同类型的结论．
（2）连接MN．若MN=AM．求证：△AEM是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和判定以及平行四边形的判定与性质即可得出结果；
（2）由矩形的性质得出AB=DC，AB∥DC，∠EAD=∠EBC=90°，证出AE=BE=DF=CF，得出四边形AEFD、四边形BEFC是平行四边形，得出四边形AEFD、四边形BEFC是矩形，得出AM=EM=FM，BN=FN，证出MN是△ABF的中位线，由三角形中位线定理得出MN=$\frac{1}{2}$AB=AE，证出AM=AE=EM即可．

解答 （1）解：四边形AEFD是矩形，AM=EM，四边形BEDF是平行四边形，AF=EC；
（2）证明：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，∠EAD=∠EBC=90°，
∵点E、F分别是矩形ABCD的两条长边AB、CD的中点，
∴AE=BE=DF=CF，
∴四边形AEFD、四边形BEFC是平行四边形，
又∵∠EAD=∠EBC=90°，
∴四边形AEFD、四边形BEFC是矩形，
∴AM=EM=FM，BN=FN，
∴△AEM是等腰三角形，MN是△ABF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∵MN=AM，
∴AM=AE=EM，
即△AEM是等边三角形．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，由三角形中位线定理得出MN等于AB的一半是解决问题的关键．