Question

14．如图，△ABC中，BE为AC边的中线，BF平分∠EBC，AQ⊥BF交BE于P，交BC于Q，求$\frac{EP}{CQ}$．

Answer 1

分析 作EM∥QC交AQ于M，由三角形的中位线的性质得到EM=$\frac{1}{2}$CQ，且∠EMH=∠BQH，由BF平分∠EBC，BF⊥PQ，得到△BPQ是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠BPQ=∠BQP，由对顶角的性质得到∠MPE=∠BPQ，等量代换得到∠EMH=∠MPE，根据等腰三角形的判定得到EP=EM=$\frac{1}{2}$CQ，于是得到结论．

解答 解：作EM∥QC交AQ于M，
∵E是AC中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$CQ，且∠EMH=∠BQH，
∵BF平分∠EBC，BF⊥PQ，
∴△BPQ是等腰三角形，
∴∠BPQ=∠BQP，
∵∠MPE=∠BPQ，
∴∠EMH=∠MPE，
∴EP=EM=$\frac{1}{2}$CQ，
∴$\frac{EP}{CQ}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．