Question

3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA=2，AE=4，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由OC=OA，$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）首先证明ACE=∠ABC，由tan∠CBA=tan∠ACE=2=$\frac{AE}{EC}$，AE=4，推出EC=2，根据EC²=EF•EA，求出EF即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE．
∴AE⊥DE；

（2）解：连接CF．
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，
∴∠CAB=∠CAE，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠ACE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
∵tan∠CBA=tan∠ACE=2=$\frac{AE}{EC}$，
∵AE=4，
∴EC=2，
∵EC²=EF•EA，
∴2²=EF•4，
∴EF=1，
∴AF=AE-EF=3．

点评 此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理、切割线定理、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．