Question

11．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）当28=m²-n²时，m+n=14；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）利用“和谐数”的定义得到m-n=2，已知等式右边利用平方差公式化简，即可确定出m+n的值；
（2）表示出两个连续偶数的平方差，整理后即可作出判断．

解答 解：（1）∵28=m²-n²=（m+n）（m-n），且m-n=2，
∴m+n=14；
故答案为：14；
（2）（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∵k为非负整数，
∴2k+1一定为正整数，
∴4（2k+1）一定能被4整除，
则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

点评 此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．