Question

11．如图，已知在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，O是AC的中点且EF⊥AC，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 首先证明△AOE≌△COF可得EO=FO，再由AO=CO，可得四边形AECF为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论．

解答 证明：∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．