Question

16．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设D（t，$\frac{k}{t}$），由矩形OGHF的面积为1得到HF=$\frac{1}{t}$，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为（kt，$\frac{1}{t}$），接着利用矩形面积公式得到（kt-t）•（$\frac{k}{t}$-$\frac{1}{t}$）=2，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．

解答 解：设D（t，$\frac{k}{t}$），
∵矩形OGHF的面积为1，DF⊥x轴于点F，
∴HF=$\frac{1}{t}$，
而EG⊥y轴于点G，
∴E点的纵坐标为$\frac{1}{t}$，
当y=$\frac{1}{t}$时，$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{t}$，解得x=kt，
∴E（kt，$\frac{1}{t}$），
∵矩形HDBE的面积为2，
∴（kt-t）•（$\frac{k}{t}$-$\frac{1}{t}$）=2，
整理得（k-1）²=2，
而k＞0，
∴k=$\sqrt{2}$+1．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．