题目内容
11．如图①，在平面直角坐标系中，已知直线AB与x、y轴分别交于A（-8，0），B（0，6）．（1）求出线段AB的长；
（2）如图②，在第四象限存在一点C，使得CB⊥AB，且CB=AB，求点C的坐标；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，连接AC，点D为BC的中点，过点D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连接AD．若点P为射线AD上的一个动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF2-PC2的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，请求其值．
分析 （1）由A与B坐标确定出OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）如图2所示，过C作CD垂直于y轴，设出C坐标，利用AAS得到三角形AOB与三角形BDC全等，利用全等三角形对应边相等得到两对边相等，求出m与n的值，即可确定出C坐标；
（3）如图3所示，连接CF交AP于点H，利用SAS得到三角形ABD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BAD=∠BCF，再由对顶角相等得到∠CHD=∠ABD=90°，即CH垂直于AP，利用勾股定理得到PF2-PC2=（FH2+PH2）-（CH2+PH2）=PH2-CH2，再由FH2-CH2=（DF2-DH2）-（DC2-DH2）=DF2-DC2，求出BD与DC的长，进而得到DF的长，确定出PF2-PC2的值不变，为25．
解答 
解：（1）∵A（-8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10；
（2）如图2所示，过C作CD⊥y轴交于点D，
依题意设C（m，n）（m＞0，n＜0），
∵AB=BC，且AB⊥BC，
∴∠BAO+∠ABO=∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC=90°}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD=OA，DC=OB，即6-n=8，m=6，
∴n=-2，
则C坐标为（6，-2）；
（3）如图3所示，连接CF交AP于点H，
依题意得：△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠BFD=45°，
∴△BDF为等腰直角三角形，
∴BF=BD，
在△ABD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBF=90°}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠BCF，
∵∠ABD=∠PDC，
∴∠DHC=∠ABC=90°，即CF⊥AP，
∴PF2-PC2=（FH2+PH2）-（CH2+PH2）=PH2-CH2，
∵FH2-CH2=（DF2-DH2）-（DC2-DH2）=DF2-DC2，
∵AB=BC=10，D为BC的中点，
∴BD=DC=5，
∵△BDF为等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$BD=5$\sqrt{2}$，
∴PF2-PC2=DF2-DC2=25，
则PF2-PC2为定值25．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
如图，在方格纸中，每个小方格的边长为1，把线段AB沿BC方向平移BC的长度后，线段AB所扫过的面积是10．
已知，如图，直线AB，CD相交于点O，OM平分∠AOD，且∠1：∠2=1：4，ON平分∠AOC，求∠BON的度数．
已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$．
如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（ ）| A． | $\frac{12}{5}$ | B． | $\sqrt{2}$+1 | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | 2$\sqrt{2}$ |
如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=$\sqrt{10}$，求tan∠DCB的值．