Question

1．已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，在△ABC外作直角三角形ACE，∠ACE=90°
（1）如图1，过点C作CM⊥AE，垂足为M，连结BM，若AB=AM，求证：BM∥CE；
（2）如图2，延长BC至D，使得CD=BC，连结DE，若AB=BD，∠EAC=45°，AE=$\sqrt{10}$，求四边形ABDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ACB≌Rt△ACM，推出BC=CM由AB=AM，推出BM⊥AC，由∠ACE=90°，推出AC⊥CE，推出BM∥CE．
（2）如图2中，作EF⊥BD于F，首先求出AC、CE、AB、BC、CD的长，再证明△ABC≌△CFE，推出BC=EF=1，根据S_{四边形ABDE}=S_△ABC+S_△ACE+S_△CDE计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵CM⊥AE，
∴∠ABC=∠AMC=90°，
在Rt△ACB和Rt△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△ACM，
∴BC=CM，∵AB=AM，
∴BM⊥AC，
∵∠ACE=90°，
∴AC⊥CE，
∴BM∥CE．

（2）解：如图2中，作EF⊥BD于F．

∵∠ACE=90°，∠EAC=45°，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴CA=CE，∵AE=$\sqrt{10}$，
∴AC=CE=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵AB=2BC，
∴BC²+4BC²=5，
∴BC=1，AB=2，
∴CB=CD=1，
∵∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠BAC=∠ECF，
在△ABC和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F=90°}\\{∠CAB=∠ECF}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CFE，
∴BC=EF=1，
∴S_{四边形ABDE}=S_△ABC+S_△ACE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$×1×1=4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定、平行线的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．