Question

6．已知△ABC中，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于点P．
（1）如图1，求证：CD=BE；
（2）如图2，∠BAD=60°，设AB，PD交于点F，若∠PAF=30°，PF=1，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△ACD≌△AEB，得出对应边相等即可；
（2）在PD上截取PM=PA，连接AM，同（1）得：△ACD≌△AEB，得出∠ADC=∠ABE，得出A、D、B、P四点共圆，由圆周角定理得出∠APD=∠ABD，证出△ABD是等边三角形，得出∠ABD=60°，即可知∠APD=60°，结合∠PAF=30°得∠AFP=∠AFD=90°，再由AF=APtan∠APF=$\sqrt{3}$可得DF=AFtan∠DAF=3．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠EAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE；

（2）在PD上截取PM=PA，连接AM，如图所示：

由（1）得：△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE，
∴A、D、B、P四点共圆，
∴∠APD=∠ABD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠APD=60°，
∵∠PAF=30°，
∴∠AFP=∠AFD=90°，
在Rt△APF中，AF=APtan∠APF=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADF中，DF=AFtan∠DAF=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．