Question

14．已知二次函数y=x²-（m²-4）x+2m²-12
（1）求证：不论m取何实数，它的图象都过一定点，并求出该定点的坐标；
（2）m取何实数时，它的图象与x轴的两个交点的距离最小？求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）由（1）知图象与x轴的两个交点，让|x₁-x₂|=0即可．

解答 解：（1）令y=0，得：0=x²-（m²-4）x+2m²-12，
则[x-（m²-6）]（x-2）=0，
解得：x₁=m²-6，x₂=2
所以不论m取何实数，它的图象都过一定点，该定点的坐标为（2，0）；
（2）由（1）知抛物线与x轴的两交点坐标为（m²-6，0），（2，0），
∴|x₁-x₂|=|m²-8|
要使抛物线的图象与x轴的两个交点的距离最小，即|m²-8|=0，
解得：m=±$2\sqrt{2}$，此时最小值为0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，求出抛物线与x轴的两交点坐标是解决问题的关键．