Question

19．已知关于x的方程x²-4x+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁x₂-5|=2x₁+2x₂-k²，求此时k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有两个实数根，可得△=b²-4ac≥0，代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x₁+x₂=4，x₁x₂=2k代入|x₁x₂-5|=2x₁+2x₂-k²可得出k的值．

解答 解：（1）∵方程x²-4x+2k=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=16-8k≥0，
∴k≤2；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=2k，
∴|x₁x₂-5|=2x₁+2x₂-k²，
即|2k-5|=2×4-k²，
∴2k-5=8-k²，或2k-5=-8+k²，
解得：k=-1±$\sqrt{14}$，或k=3，k=-1，
∵k≤2，
∴k=-1-$\sqrt{14}$，或k=-1．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．