Question

17．如图，AC为⊙O的直径，且PA⊥AC，点B在⊙O上，PB交AC的延长线于点D，C为AD的中点，DB=2BP．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）点E为⊙O上一点，求cos∠BEA的值．

Answer 1

分析 （1）连结OB、OP，BC，如图，根据平行线分线段成比例定理得到OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POA=∠BCO，∠POB=∠CBO，根据全等三角形的性质得到∠OAP=∠OBP，则有∠OBP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线PB是⊙O的切线；
（2）由△PAO≌△PBO得到∠POB=∠POA，则可证明BC∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{BD}{PB}=\frac{CD}{OC}$=2，则可设BP=a，OC=R，则BD=2a，CD=2R，在Rt△OBD中，利用勾股定理得R²+（2a）²=（3R）²，解得a=$\sqrt{2}$R，所以PA=PB=$\sqrt{2}$R，然后在Rt△POA中，利用勾股定理计算出OP=$\sqrt{3}$R，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接BO，OP，BC，
∵PA⊥AC，
∴∠PAD=90°，
∵C为AD的中点，
∴AC=CD=2OC，
∴CD=2OC，
∵DB=2BP，
∴$\frac{BD}{PB}=\frac{CD}{OC}$=2，
∴BC∥OP，
∴∠POA=∠BCO，∠POB=∠CBO，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BOP=∠AOP，
在△PAO与△PBO中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠POB=∠POA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵△PAO≌△PBO，
∴∠POB=∠POA，
∵∠AOB=∠OCB+∠OBC，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠POA=∠OCB，
∴BC∥OP，
∴$\frac{BD}{BP}=\frac{CD}{OC}$=2，
设BP=a，OC=R，则BD=2a，CD=2R，
在Rt△OBD中，BD=2a，OB=R，OD=3R，
∴R²+（2a）²=（3R）²，解得a=$\sqrt{2}$R，
∴PA=PB=$\sqrt{2}$R，
在Rt△POA中，OP=$\sqrt{O{A}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}+（\sqrt{2}R）^{2}}$=$\sqrt{3}$R，
∵cos∠POA=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{R}{\sqrt{3}R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
而∠2=∠BCA，∠BCA=∠AEB，
∴cos∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．