Question

19．如图，AD是⊙O的弦，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，且∠C=30°．给出四个结论：①BC=BD；②AD=CD；③AB=2BC；④AC=$\sqrt{3}$CD，其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 连接OD，由CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO=30°，推出∠A=∠C，根据等腰三角形的判定得到AD=CD；故②正确；连接BD，推出△DOB是等边三角形，得到BD=OB，∠ODB=60°，求得∠BDC=∠C=30°，根据等腰三角形的判定得到BD=BC，故①正确；由于OB=BC=OA=$\frac{1}{2}$AB，得到AB=2BC，故③正确；根据直角三角形的性质得到OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，于是得到AC=3OD=$\sqrt{3}$CD，故④正确．

解答 解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC=60°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠A=∠C，
∴AD=CD；故②正确；
连接BD，
∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD=OB，∠ODB=60°，
∴∠BDC=∠C=30°，
∴BD=BC，故①正确；
∴OB=BC=OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BC，故③正确；
∵∠C=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，
∴AC=3OD=$\sqrt{3}$CD，故④正确；
故选A．

点评 此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．