Question

2．如图，在长方形ABCD中，AD=8cm，CD=4cm．
（1）若点P是边AD上的一个动点，当P在什么位置时，PA=PC？
（2）在（1）的条件下，Q是边AB边上的一个动点，当QP与PC垂直时，试确定点Q的位置．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）证明△APQ∽△DCP，得出对应边成比例，求出AQ的长即可．

解答 解：（1）如图1所示：
设PA=PC=xcm，则PD=（8-x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴CD²+PD²=PC²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴当AP=5cm时，PA=PC；
（2）如图2所示；
由（1）得：AP=5cm，PD=3cm，
∵QP⊥PC，∠A=∠D=90°，
∴∠APQ=∠DCP，
∴△APQ∽△DCP，
∴$\frac{AQ}{PD}=\frac{PA}{CD}$，即$\frac{AQ}{3}=\frac{5}{4}$，
解得：AQ=$\frac{15}{4}$，
即当QP与PC垂直时，AQ=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出PA是解决问题的关键．