下面是有关三角形内外角平分线的探究.阅读后按要求作答:探究1:如图(1).在△ABC中.点O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点.试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系?探究2:如图(2).点O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点.试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系?探究3:如图(3).点O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点.试� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：
探究1：如图（1），在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？
探究2：如图（2），点O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？
探究3：如图（3），点O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？

（1）直接写出以上三个探究中∠BOC与∠A的数量关系．
探究1：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
探究2：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
探究3：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A
（2）请选择（1）中的其中一个探究结论进行证明．

分析（1）探究1：根据角平分线的定义可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可；
探究2：利用角平分线的性质与外角的性质得出∠2=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
探究3：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
（2）由（1）的探究可得出结论．

解答解：（1）探究1：结论：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
通过分析发现探究2结论：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2），
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
探究2结论：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
探究3结论：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB），
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
故答案为：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（2）选择探究1，证明过程同（1）．