Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．

(1)求过点D的反比例函数的解析式；

(2)求△DBE的面积；

(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）3（3）P点的坐标是（4，0）或（，0）．

【解析】

（1）由四边形OABC是矩形，得到BC=OA，AB=OC，根据tan∠COD=，设OC=3x，CD=4x，求出OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到D（4，3），代入反比例函数的解析式即可．

（2）根据D点的坐标求出点B，E的坐标即可求出结论；

（3）分类讨论：当∠OPD=90°时，过D作PD⊥x轴于P，点P即为所求，当∠ODP=90°时，根据射影定理即可求得结果．

（1）∵四边形OABC是矩形，

∴BC=OA，AB=OC，

∵tan∠COD=，

∴设OC=3x，CD=4x，

∴OD=5x=5，

∴x=1，

∴OC=3，CD=4，

∴D（4，3），

设过点D的反比例函数的解析式为：y=，

∴k=12，

∴反比例函数的解析式为：y=；

（2）∵点D是BC的中点，

∴B（8，3），

∴BC=8，AB=3，

∵E点在过点D的反比例函数图象上，

∴E（8，），

∴S△DBE=BDBE==3；

（3）存在，

∵△OPD为直角三角形，

∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P，

∴OP=4，

∴P（4，0），

当∠ODP=90°时，

如图，过D作DH⊥x轴于H，

∴OD2=OHOP，

∴OP=．

∴P（，O），

∴存在点P使△OPD为直角三角形，

∴P（4，O），（，O）．