Question

11．已知：如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$．求证：∠AEF=∠FBD．

Answer 1

分析 首先设正方形ABCD的边长为3，利用正方形的性质和$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$求得EB、AF、AE、FD，进一步利用勾股定理求得FG、BF、EF、BG，利用三边对应成比例求得△AEF∽△BGF，得出结论．

解答 证明：如图，

作FG⊥BD于点G，
设正方形ABCD的边长为3，
则AB=AD=3，∠ADB=45°，
∵$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴EB=1，AF=1，AE=3-1=2，FD=3-1=2，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
FG=$\sqrt{2}$，
BG=$\sqrt{B{F}^{2}-F{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AF}{FG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AE}{BG}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{BG}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴△AEF∽△GBF，
∴∠AEF=∠FBD．

点评 此题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．