Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3．
（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；
（2）若过点D，E的抛物线与y轴相交于点H（0，5），求抛物线的解析式；
（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，与x轴相交于点F（-5，0），在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）若点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）本题可根据折叠的性质来求解．根据折叠的性质可得出OE=OA，可在RT△OCE中，用勾股定理求出CE的长，也就求出了E点的坐标．在RT△DBE中，还是根据折叠的性质，DA=DE，DB=3-DE，而BE可根据OA和CE的长求出，因此根据勾股定理即可求出DE即AD的长，也就得出了D点的坐标．
（2）根据D、E、H的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（3）当内心在y轴上时，根据三角形内心的性质可知：y轴正好是∠PHF的角平分线，那么∠PHO=∠FHO=45°，设PH与x轴的交点为M，易知△OMH为等腰直角三角形，由此可求出M的坐标，进而可求出直线PH的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．当内心在x轴上时，解法同上．
（4）根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线HQ⊥OD时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大，此时点Q为垂足．此时点Q为垂足．HQ所在的直线与OD所在的直线垂直，再求出HQ所在的直线解析式．再求出点Q的坐标．

解答：解：（1）由折叠性可得，OE=OA=5，
在Rt△OCE中，CE²=OE²-OC²=5²-3²=4²，
∴CE=4．
∴点E的坐标为（4，3），
∵BE=BC-CE=5-4=1，ED=AD，
在Rt△BED中，ED²=EB²+BD²，
∴AD²=1+（3-AD）²
解得AD=

5

3

，
∴D点的坐标为（5，

5

3

），
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点D（5，

5

3

），E（4，3），F（0，5），
∴

25a+5b+c= 5 3 16a+4b+c=3 c=5

解得

a=- 1 6 b= 1 6 c=5

∴抛物线的解析式为y=-

1

6

x²+

1

6

x+5，
（3）存在这样的P点，使△PFH的内心在坐标轴上．
①如图1，若△PFH的内心在y轴上，设直线PH与x轴相交于点M，

∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴点M的坐标为（5，0）．
∴直线PH的解析式为y=-x+5．
解方程组

y=-x+5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

解得

x1=0 y1=5

，

x2=7 y2=-2

∴点P的坐标为（7，-2）．
②如图2，若△PFH的内心在x轴上，设直线PF与y轴相交于点N，

∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
∴HO=NO，
∴点N的坐标为（0，-5），
∴直线FN的解析式为y=-x-5．
解方程组

y=-x-5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

解得

x1=-5 y1=0

，

x2=12 y2=-17

，
∴点P的坐标为（12，-17）．
综合①②可知点P的坐标为（7，-2）或（12，-17）．
（4）如图3，当HQ⊥OD时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大

∵D点的坐标为（5，

5

3

），
∴直线OD所在的直线y=

1

3

x
∵HQ所在的直线与OD所在的直线垂直，
∴HQ所在的直线解析式为y=-3x+5．

y= 1 3 x y=-3x+5

，
解得

x= 3 2 y= 1 2

．
∴点Q的坐标为（

3

2

，

1

2

）

点评：本题为二次函数综合题，综合考查了矩形的性质、图形的折叠变换、三角形的内心等重要知识．难度较大．