Question

2．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．
（1）求证：AE=CE；
（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和SAS证明△ABE≌△CBE即可；
（2）由折叠的性质得出∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=$\frac{1}{2}$BD=BE=DE，证出AE=BE=CE=DE=AF=BF，得出四边形AFBE是菱形，AE⊥BD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE．
（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：
由折叠的性质得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，
∵∠BAD=90°，E是BD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD=BE=DE，
∵AE=CE，
∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AFBE是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、折叠的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．