Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=CD=2，∠ADB=3∠ABD，则AD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：如图，作辅助线；证明∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；证明AE=3BE（设为3λ），得到AD=AE=3λ；证明9λ²-4=16λ²-16，解得：λ=

2 21

7

，求出AD即可解决问题．

解答：解：如图，作BD的垂直平分线，交AB于点E，连接DE；
则BE=DE（设为λ），BF=DF=1，CF=3；
∴∠B=∠EDB（设为α）；
∵∠AED=∠B+∠EDB=2α，∠ADB=3∠B=3α，
∴∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；
∵EF⊥BC，AC⊥BC，
∴EF∥AC，

BE

AE

=

BF

CF

=

1

3

，
∴AE=3BE（设为3λ），
∴AD=AE=3λ；由勾股定理得：
AC²=AD²-DC²=9λ²-4，
AC²=AB²-BC²=16λ²-16，
∴9λ²-4=16λ²-16，
解得：λ=

2 21

7

，
∴AD=

6 21

7

，
故答案为

6 21

7

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答．