Question

19．有这样一个问题：探究函数y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{x^2}$的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{x^2}$的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{x^2}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；

x

…

-4

-3

-2

-$\frac{3}{2}$

-1

-$\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

1

2

3

4

…

y

…

-$\frac{17}{8}$

-$\frac{31}{18}$

-$\frac{3}{2}$

-$\frac{59}{36}$

-$\frac{5}{2}$

-$\frac{29}{6}$

-$\frac{25}{6}$

-$\frac{3}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{23}{18}$

m

…

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（-2，-$\frac{3}{2}$），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）当x＞0时，y随x的增大而增大．

Answer 1

分析 （1）由分母不为0，可得出自变量x的取值范围；
（2）将x=4代入函数表达式中，即可求出m值；
（3）连线，画出函数图象；
（4）观察函数图象，找出函数性质．

解答 解：（1）∵x²在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x=4时，m=$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{x^2}$=$\frac{1}{2}$×4-$\frac{2}{{4}^{2}}$=$\frac{15}{8}$．
（3）连线，画出函数图象，如图所示．
（4）观察图象，可知：当x＞0时，y随x的增大而增大．
故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．

点评 本题考查了分式有意义的条件、二次函数的性质、二次函数的图象以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据分母不为0，找出x的取值范围；（2）将x=4代入函数关系式求出y值；（3）连点，画出函数图象；（4）根据函数图象，寻找函数的性质．