Question

5．已知二次函数y=m （x-1）（ x-4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D．若四边形ACBD为正方形，则m的值为±$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到A（1，0），B（4，0），得到抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，设顶点C的坐标为（$\frac{5}{2}$，a），根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：∵二次函数y=m （x-1）（ x-4）的图象与x轴交于A、B两点，
∴A（1，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，
设顶点C的坐标为（$\frac{5}{2}$，a），
∵四边形ACBD为正方形，
∴|a|=$\frac{3}{2}$，
∴C（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）或C（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
把C点的坐标代入得，$\frac{3}{2}$=m（$\frac{5}{2}$-1）（ $\frac{5}{2}$-4）或-$\frac{3}{2}$=m（$\frac{5}{2}$-1）（ $\frac{5}{2}$-4），
解得：m=$±\frac{2}{3}$，
故答案为：±$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象与几何变换，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．