Question

20．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A（5，0），B（-1，0），点D在直线AC上，过点D作DE∥y轴交抛物线于点E，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）当0＜m＜5时，用含m的代数式表示DE的长；
（3）在（2）的条件下，当m为何值时，△CDE是轴对称图形？

Answer 1

分析 （1）将A、B点代入抛物线解析式即可求得b、c的值，即可求得点C坐标，即可解题；
（2）延长ED交x轴于点F，易证△ADF为等腰直角三角形，根据DE=EF-DF即可解题；
（3）作DG⊥y轴，易证△CDE是等腰直角三角形，根据（2）中结论即可求得m的值，即可解题．

解答 解：（1）将A、B代入y=-x²+bx+c可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-25+5b+c}\end{array}\right.$，
解得：b=4，c=5，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x+5，
∴点C坐标为（0，5），
设直线AC解析式为y=kx+b，代入A、C得：$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=5，
∴直线AC的解析式为y=-x+5；
（2）延长ED交x轴于点F，

∵OA=OC，
∴∠BAC=45°，
∵ED∥y轴，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DF=AF，
∴DE=EF-DF=（-m²+4m+5）-（5-m）=-m²+5m；
（3）作DG⊥y轴，

∴∠ACO=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$DG，
∵△CDE是轴对称图形，∠CDE=∠ADF=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴DE=2DG，即-m²+5m=2m，
解得：m=3或m=0（舍去），
∴当m=3时，△CDE是轴对称图形．

点评 本题考查了代入法求二次函数解析式的方法，考查了等腰直角三角形的性质，本题中求得DE的长与m的关系是解题的关键．