Question

7．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，EF=nAB，DG=nAE，连接DE，FG相交于点H．
（1）若n=1，如图1，求∠EHF的度数；
（2）若n=$\frac{1}{2}$，如图2，求tan∠EHF的值．

Answer 1

分析 （1）连接FC和CG（如图1），先证明△AED≌△DGC，同理△FBC≌△EAD，再证明△GFC是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM，先证明△DGM∽△AED，得∠ADE=∠DMG，$\frac{GM}{DB}$=$\frac{DG}{AE}$=$\frac{1}{2}$，再证明△FMG是直角三角形即可．

解答 解：（1）连接FC和CG（如图1），
∵四边形ABCD为正方形，AE=BF=GD，
∴AB=BC=DC=AD，∠A=∠ABC=∠FBC=∠CDG=90°，
在△EAD和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DG}\\{∠A=∠GDC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DGC（SAS），
同理△FBC≌△EAD．
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；（4分）
（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四边形EFMD为平行四边形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=$\frac{1}{2}$CD，GD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{GD}{AE}=\frac{DM}{AD}$．
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴∠ADE=∠DMG，$\frac{GM}{DB}$=$\frac{DG}{AE}$=$\frac{1}{2}$
∵∠DMG+∠MGD=90°，
∴∠ADE+∠DGM=90°，
∴GM⊥DE，∵ED∥FM，
∴GM⊥FM，∠EHF=∠GFM，
∴tan∠GFM=$\frac{GM}{FM}$=$\frac{GM}{DE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．