Question

2．实践与操作：如图，在△ABC中，AB=3，∠C=30°．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在你按（1）中要求所作的图中，画⊙O的切线BF，BF与CA的延长线交于点F，若CF⊥BF，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）分别作AC和BC的垂直平分线，它们相交于点O，则以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）连接OA、OB，OA交BC于E，如图，根据切线的性质得OB⊥BF，再证明OB∥CF得到∠OBC=∠C=30°，利用圆周角定理得到∠AOB=2∠C=60°，于是可判定△OAB为等边三角形，所以∠ABC=30°，则可判断BC平分∠ABO，根据等边三角形的性质得AO⊥BC，利用垂径定理得到BE=CE，然后在Rt△ACE中，利用含30度的直角三角形三边的关系求出BE，从而得到BC的长．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）连接OA、OB，OA交BC于E，如图，
∵BF为切线，
∴OB⊥BF，
∵BF⊥CF，
∴OB∥CF，
∴∠OBC=∠C=30°，
∵∠AOB=2∠C=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠ABC=30°，
∴BC平分∠ABO，
∴AO⊥BC，
∴BE=CE，
在Rt△ACE中，AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BE=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了作与-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决（2）小题的关键是判断△OAB为等边三角形．