Question

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE．
（2）连接EM，如果FM=DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠ADE=∠BFE，由E为AB的中点，得出AE=BE，由AAS证明△AED≌△BFE即可；
（2）由△AED≌△BFE，得出对应边相等DE=EF，证明FM=DM，由三角形的三线合一性质得出EM⊥DF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
在△AED和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BFE}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AED=∠BEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：
连接EM，如图所示：
由（1）得：△AED≌△BFE，
∴DE=EF，
∵∠MDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，
∴∠MDF=∠BFE，
∴FM=DM，
∴EM⊥DF，
∴ME垂直平分DF．

点评 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．